Probabilités conditionnelles

Définition : on considère deux événements \(A\) et \(B\). La probabilité que l'événement \(B\) se réalise à condition que l'événement \(A\) soit réalisé se note \(p_{A}(B)\) et se lit "p de B si A".

Formule : pour calculer une probabilité conditionnelle, on utilise la relation : \(p_{A}(B) = \frac{p(A\cap B)}{p(A)}\) si \(p(A) \neq 0\).

Exemple : on tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité que ce soit un roi, sachant que c’est une carte rouge ?

On considère les deux événement suivants.

• L'événement \(A\) : "La carte est rouge."
  
• L'événement \(B\) : "La carte est un roi."
  

Il y a 26 cartes rouges, donc la probabilité que la carte tirée soit rouge est : \(p(A)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}=0{,}5\).

Il y a deux rois rouges (le roi de cœur et le roi de carreau), donc la probabilité que la carte tirée soit un roi rouge est \(p(A\cap B)= \frac{2}{52}=\frac{1}{26}\approx0{,}038\).

La probabilité de tirer un roi sachant que c'est une carte rouge est : \(p_{A}(B) = \frac{p(A\cap B)}{p(A)}=\frac{\frac{1}{26}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}\approx0{,}077\).